Comment bien rédiger une démonstration de maths : exemples

Quels sont les principes fondamentaux d’une démonstration de maths ?

Une démonstration mathématique repose sur plusieurs principes essentiels :

1. La rigueur : chaque étape doit être justifiée par des propriétés, théorèmes ou définitions connus.
2. La clarté : le raisonnement doit être présenté de manière structurée et compréhensible.
3. La complétude : aucune étape importante ne doit être omise.
4. La logique : les déductions doivent suivre un enchaînement cohérent irréprochable.

Comment faire une démonstration mathématique réussie : les étapes

Avant d’être rédigée, une démonstration doit toujours d’abord faire l’objet d’une étude et d’une attentive analyse de ce qui doit être démontré.

Faire l’analyse préliminaire

Il s’agit de ne pas se précipiter afin de bien :

• Identifier clairement ce qu’on cherche à démontrer.
• Repérer les hypothèses données.
• Faire un schéma ou une figure si nécessaire pour aider à une visualisation.
• Identifier les théorèmes ou les propriétés qui pourraient être utiles.

Nous conseillons à l’élève de réaliser cette étape sur un brouillon, afin d’être certain de ne rien oublier.

Rédiger de façon structurée

La rédaction fait partie intégrante de la démonstration. Elle ne doit pas être négligée. En effet, comme l’écrivait Boileau, « ce qui se conçoit bien s’énonce clairement ». Autrement dit, le choix des mots que vous faites, ainsi que leur enchaînement doivent être irréprochables de logique.

Les différents types de démonstrations

Quatre grands types de démonstrations sont généralement privilégiés. Chez Acadomia, nos professeurs de mathématiques privilégient toujours le type de démonstration correspondant au niveau de l’élève et aux besoins du problème à résoudre.

La démonstration directe

Ici, vous devez partir des hypothèses pour arriver à la conclusion par une suite de déductions logiques. C’est la méthode de démonstration la plus naturelle.

Un exemple niveau 5ème sur l’égalité des angles dans un triangle isocèle

Énoncé : Soit ABC un triangle isocèle en A. Démontrer que les angles B et C sont égaux.

Démonstration rédigée :

Dans le triangle ABC, on sait que ABC est un triangle isocèle en A. Donc [AB] = [AC].

Je peux affirmer que :

• Le triangle ABC peut être superposé à lui-même par pliage selon la hauteur issue de A, car la hauteur issue de A est aussi médiatrice de [BC], le triangle étant isocèle.
• Cette symétrie conserve les angles.
• Donc l’angle en B est égal à l’angle en C.

Conclusion : Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. C’est donc le cas dans le triangle ABC.

La démonstration par contraposée

Avec ce type de démonstration, vous pouvez prouver des énoncés mathématiques.

Ainsi, si l’énoncé est de la forme « Si P, alors Q », vous démontrez son équivalent logique, appelé contraposée : « Si Q est faux, alors P est faux ». Les deux affirmations sont équivalentes. Si on prouve la contraposée, on prouve automatiquement l’énoncé initial.

Exemple niveau 3ème avec le théorème de la droite des milieux

Énoncé : Si une droite coupe deux côtés d’un triangle en leur milieu, alors elle est parallèle au troisième côté.

Contraposée :

Si une droite n’est pas parallèle au troisième côté, alors elle ne peut pas couper les deux autres côtés en leur milieu.

Démonstration :

1. Supposons qu’une droite d n’est pas parallèle au côté [BC].
2. Selon le théorème des droites parallèles, qui dit que si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles, d intersecte [BC] en un point I.
3. Supposons par l’absurde que d coupe [AB] en M et [AC] en N, M et N étant les milieux.
4. D’après le théorème réciproque des milieux, qui dit que dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté, si M et N sont milieux, alors (MN) doit être parallèle à [BC].
5. Cela contredit l’hypothèse que d n’est pas parallèle à [BC].
6. Donc d ne peut pas couper les côtés [AB] et [AC] en leur milieu.

Ainsi, la contraposée est vraie, donc l’énoncé initial est vrai. CQFD.

La démonstration par récurrence

Cette méthode mathématique est utilisée pour prouver qu’une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers naturels n à partir d’une certaine valeur initiale, souvent n = 0 ou n = 1.

Elle comporte deux étapes :

• L’initialisation : on vérifie la propriété P(n) pour la valeur de départ de n. Cela pose la base de la récurrence.
• L’hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un entier n = k. C’est l’hypothèse de récurrence. On démontre ensuite que cela implique la véracité de la propriété pour n = k + 1.

En conclusion, on peut affirmer que si si P(k) est vraie, alors P(k + 1) l’est également. Par un effet de domino, la propriété est vraie pour tous les entiers supérieurs ou égaux à la valeur de départ de n.

Ce type de démonstration est surtout utilisé en cours de spécialité maths de première et de terminale générales.

La démonstration par l’absurde

La démonstration par l’absurde, enfin, consiste à démontrer qu’une proposition est vraie en supposant son contraire, puis en montrant que cette supposition conduit à une contradiction. Cela prouve que l’hypothèse initiale (le contraire de ce qu’on veut démontrer) est fausse, et donc que la proposition est vraie.

Structure d’une démonstration par l’absurde

Voici comment vous pouvez généralement structurer ce genre de démonstration :

• Supposition initiale : supposez que la proposition que vous voulez démontrer est fausse.
• Développement : exploitez cette supposition pour en déduire des conséquences.
• Contradiction : montrez que cette supposition mène à une contradiction logique, mathématique ou physique.
• Conclusion : puisque la supposition est absurde, vous pouvez conclure que la proposition initiale est vraie.

Ce type de démonstration au collège

En 3ème, les élèves sont parfois exposés à des raisonnements par l’absurde, notamment en géométrie. Cela reste toutefois assez peu formalisé. Par exemple, il s’agit de montrer qu’une construction géométrique est impossible de prouver que deux droites données ne peuvent pas être perpendiculaires et parallèles à une troisième en même temps, ou encore, de travailler des éléments en lien avec le théorème de Pythagore, comme prouver qu’un triangle avec deux angles droits est impossible.

La démonstration par l’absurde en maths (seconde, première et terminale spé maths et maths expertes)

Raisonner par l’absurde est parfois contre-intuitif pour certains. Du soutien scolaire en maths peut vous permettre de mieux comprendre la logique de ce type de raisonnement.

• En seconde :
  Cette méthode peut être abordée de manière intuitive dans certains contextes, notamment en algèbre (par exemple, en prouvant des propriétés de divisibilité).
• En première et en terminale (surtout en spécialité Maths) :
  La démonstration par l’absurde est formellement introduite et utilisée pour :
  • Les nombres irrationnels (comme prouver que √2 est irrationnel)
  • Les propriétés algébriques (par exemple, prouver qu’un entier donné ne peut pas être une racine d’une équation).
  • La géométrie analytique et les preuves liées aux vecteurs ou aux coordonnées.

Exemple niveau lycée : l’irrationalité de √3

Énoncé : Démontrons que √3 n’est pas un nombre rationnel.

Démonstration rédigée :

Je vais raisonner par l’absurde.

Supposons que √3 soit rationnel. Alors il existe deux entiers p et q non nuls, premiers entre eux, tels que : √3 = p/q

En élevant au carré, on obtient : 3 = p²/q² 3q² = p²

Donc p² est multiple de 3. Or, si un carré est multiple de 3, alors le nombre est lui-même multiple de 3. Donc il existe un entier k tel que p = 3k.

En remplaçant dans l’égalité précédente : 3q² = (3k)² 3q² = 9k² q² = 3k²

Donc q² est multiple de 3. Par le même raisonnement que précédemment, q est multiple de 3.

Ainsi, p et q sont tous les deux multiples de 3. Or, nous avions supposé p et q comme étant premiers entre eux. Ceci est une contradiction.

Donc notre supposition de départ est fausse : √3 n’est pas rationnel.

Pour conclure

La démonstration mathématique est un exercice rigoureux qui demande de la méthode et de la pratique. En suivant les méthodes et principes présentés dans cet article, vous pourrez progressivement améliorer vos capacités à construire des démonstrations claires et convaincantes. N’oubliez pas que la clé de la réussite réside dans un travail régulier et dans la rigueur de votre raisonnement.